一般相対論におけるリーマン幾何学や、物性理論におけるトポロジーなどをはじめ、理論物理では数学科で学ばれるような現代幾何学の概念が広く用いられる。本書では、理論物理を志向する読者を主な対象に、現代幾何学で最も基本的な概念である「多様体」とその性質を中心に解説する。

　物理学科の出身でありながら、現在は数学を生業とする著者自身の学生時代の経験を織り交ぜつつ、読者へ語りかけるようにわかりやすく述べられている。多様体の基本事項を「抽象的な一般論」よりも「具体的な使われ方」に重きを置いて解説したのち、多様体のトポロジー、リーマン幾何学、リー群の大域的構造と、多彩に話題が展開されてゆく。

　第1章では準備として「一般位相」を扱い、物理と数学がそれぞれ何を大事にしているのかの違いについても述べた。また、ベクトル空間の双対やテンソル積といった線形代数の発展的内容に慣れていない読者のために、必要な定義などを最終章に短くまとめた。

　イメージをつかむ・理解を助けるための図を多数収録。物理学科の学生のみならず、数学として多様体を学びたいかたにもおすすめしたい書籍。

1．一般位相：直観を論理に乗せる作業

2．多様体

3．多様体のトポロジー

4．リーマン幾何学と一般相対論

5．リー群の大域的構造とリー環

6．附録：線形代数についての補足

多様体について基礎的な知識をもった読者のためのリーマン幾何学の入門書。

　前半の3章でリーマン幾何学の基本的な概念を解説し、後半では多岐にわたって発展している話題のうち、主に比較定理とその応用について解説した。

1．多様体からの準備

　1.1　ベクトル空間

　1.2　多様体

　1.3　ベクトル束と線形接続

　問題

2．リーマン幾何における基本的な概念

　2.1　リーマン計量

　2.2　測地線

　2.3　曲率

　2.4　接束からの観点

　2.5　測度に関する概念

　2.6　補足（リーマン沈めこみと複素射影空間）

　問題

3．リーマン多様体の大域的概念

　3.1　完備リーマン多様体

　3.2　変分公式とヤコビ場

　3.3　有限次元多様体による近似，測地線の指数定理

　3.4　最小跡（cut locus）

　3.5　アムブローズの定理

　3.6　等長変換群とホロノミー群

　問題

4．比較定理とその応用

　4.1　定曲率リーマン多様体

　4.2　ヤコビ場に対する比較定理

　4.3　比較定理の応用

　4.4　トポノゴフの比較定理

　4.5　凸性

　4.6　対称空間

　問題

5．曲率と位相

　5.1　基本群と曲率

　5.2　正曲率多様体（コンパクトの場合）

　5.3　正曲率多様体（非コンパクトの場合）

　5.4　負曲率多様体

　問題

6．等周不等式とスペクトル幾何

　6.1　等周不等式

　6.2　ベルジェの不等式

　6.3　ラプラシアンの固有値問題

　6.4　曲率とスペクトル

　6.5　基本解とスペクトル幾何

　問題

付録1．曲率テンソルの既約分解

付録2．斉次空間

付録3．単射半径評価と閉測地線の存在

付録4．最大値原理

付録5．微分形式

付録6．グロモフの収束定理とリーマン多様体の崩壊

特異点を持つ図形の上での幾何学や解析学をどのようにして行うのかを解説する。〔内容〕グロモフ・ハウスドルフ距離／リーマン幾何学速習／比較定理とその剛性／リーマン多様体列の極限空間／RCD 空間／測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束と関数解析／非崩壊RCD 空間／球面定理／付録：多様体・バナッハ空間・測度。