リーマン幾何学の本

ある一人の少年が、数学の世界に興味を持つきっかけとなる一冊の参考書を手にするところからスタートします。「リーマン幾何学の参考書」、それが彼の階段を登る第一歩。難解な数式たちと格闘しながらも、彼は達成感とともに目覚めていく知的な喜びを紡ぎ出すのです。本作は単なる数学好きだけでなく、何かに打ち込む喜びを味わいたいという全ての方におすすめしたい一作。新たな視点でリーマン幾何学に触れることで、数学のワクワクする世界を思いっきり楽しんでみてください。それが複雑ではありますが、確かな達成感を得られることは間違いありません。
『リーマン幾何学』
| 作者 | 加須栄,篤,1954- 砂田,利一,1948- 黒川,信重,1952- |
|---|---|
| 価格 | 不明 |
| 発売元 | 培風館 |
| 発売日 | 2001年06月 |
『理論物理のための 現代幾何学 多様体・リーマン幾何学・リー群の大域的構造』
一般相対論におけるリーマン幾何学や、物性理論におけるトポロジーなどをはじめ、理論物理では数学科で学ばれるような現代幾何学の概念が広く用いられる。本書では、理論物理を志向する読者を主な対象に、現代幾何学で最も基本的な概念である「多様体」とその性質を中心に解説する。
物理学科の出身でありながら、現在は数学を生業とする著者自身の学生時代の経験を織り交ぜつつ、読者へ語りかけるようにわかりやすく述べられている。多様体の基本事項を「抽象的な一般論」よりも「具体的な使われ方」に重きを置いて解説したのち、多様体のトポロジー、リーマン幾何学、リー群の大域的構造と、多彩に話題が展開されてゆく。
第1章では準備として「一般位相」を扱い、物理と数学がそれぞれ何を大事にしているのかの違いについても述べた。また、ベクトル空間の双対やテンソル積といった線形代数の発展的内容に慣れていない読者のために、必要な定義などを最終章に短くまとめた。
イメージをつかむ・理解を助けるための図を多数収録。物理学科の学生のみならず、数学として多様体を学びたいかたにもおすすめしたい書籍。
1.一般位相:直観を論理に乗せる作業
2.多様体
3.多様体のトポロジー
4.リーマン幾何学と一般相対論
5.リー群の大域的構造とリー環
6.附録:線形代数についての補足
| 作者 | 秦泉寺 雅夫 |
|---|---|
| 価格 | 5280円 + 税 |
| 発売元 | 裳華房 |
| 発売日 | 2024年09月28日 |
『リーマンと幾何学』
試験官の一人であったガウスが興奮したとも伝えられている、1854年に行われたリーマンの教授資格取得講演「幾何学の基礎をなすある仮説について」は、近代および現代幾何学の発展の礎といえる大変著名なものであり、その影響は計り知れない。本書は、この講演に関して解説を行い、また現代数学におけるその甚大なる影響の中から、トピックを選んで論述する。
まず前半部では、初めに19世紀におこった幾何学の革命「ユークリッド空間からの離脱」について、リーマン以前の状況について簡単に説明する。そして、リーマンの教授資格取得講演「幾何学の基礎をなすある仮説について」を、現代の幾何学の標準的カリキュラムにおいて教えられている諸概念と講演との対応、また以後の発展にどのように取り入れられているかという観点から解説を行う。
後半部では、まずガウスに始まり、リーマンにおいて認識された「内在的幾何」を表現する多様体が、「外在的」にユークリッド空間内の部分多様体として実現されるかということをあらわす「埋め込みの問題」を扱う。次に、リーマンの講演においても言及されている離散空間に関連して、現代微分幾何学における中心的概念の一つであるグロモフ・ハウスドルフ距離について解説し、その後リーマン幾何学の現状の研究の概要をまとめる。最後に、リーマンの数論と「リーマン多様体」を結び付けるという流れを鑑み、さらにリーマンに強く影響を与えた数学者の一人であるディリクレの名を冠する算術級数定理の幾何学版について、筆者の最近の研究も含めて紹介する。
第1章 リーマン登場までの幾何学の状況
1.1 ユークリッド幾何学と空間論
1.2 非ユークリッド幾何学
1.3 ガウスの曲面論
第2章 リーマンの教授資格取得講演と現代幾何学
2.1 リーマンの教授資格取得講演I
2.2 解説1:微分可能多様体
2.3 リーマンの教授資格取得講演II
2.4 解説2:リーマン幾何学
2.5 リーマンの教授資格取得講演III
2.6 解説3
2.7 リーマン幾何学のその後
第3章 リーマン多様体の埋め込み
3.1 基礎概念:はめ込みと埋め込み
3.2 ベクトル束,ファイバー束,主束
3.3 位相的埋め込み
3.4 等長埋め込み
3.5 その他の埋め込み
第4章 連続と離散:グロモフ・ハウスドルフ距離とリーマン幾何学
4.1 大域リーマン幾何学の歴史
4.2 グロモフ・ハウスドルフ距離
4.3 崩壊理論
4.4 断面曲率が下に有界な空間
4.5 断面曲率が上に有界な空間
4.6 リッチ曲率が下に有界な空間
4.7 測度距離空間と曲率次元条件
4.8 リッチ曲率が上に有界な空間
4.9 スカラー曲率
4.10 その他の曲率
4.11 リッチ流
4.12 次元が無限大に発散する空間列の幾何学
第5章 リーマン多様体の素閉測地線
5.1 素数定理と素測地線定理
5.2 ディリクレの算術級数定理とその幾何学類似
5.3 離散群と被覆空間
5.4 被覆空間とラプラシアン
5.5 素閉測地線に関する密度定理(無限次アーベル拡大)
5.6 素閉測地線に関する密度定理(ハイゼンベルグ拡大)
文献案内と今後考えられうる方向性
| 作者 | 黒川 信重/勝田 篤 |
|---|---|
| 価格 | 5500円 + 税 |
| 発売元 | 共立出版 |
| 発売日 | 2024年12月25日 |
『リーマン幾何学 : 数学の基礎的諸分野への現代的入門』
| 作者 | 酒井,隆,1941- |
|---|---|
| 価格 | 不明 |
| 発売元 | 裳華房 |
| 発売日 | 1992年05月 |
『リーマン幾何学入門』
| 作者 | Kowalski,Oldřich,1936- 関沢,正躬,1944- |
|---|---|
| 価格 | 不明 |
| 発売元 | 日本評論社 |
| 発売日 | 2001年12月 |
『多様体の収束』
特異点を持つ図形の上での幾何学や解析学をどのようにして行うのかを解説する。〔内容〕グロモフ・ハウスドルフ距離/リーマン幾何学速習/比較定理とその剛性/リーマン多様体列の極限空間/RCD 空間/測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束と関数解析/非崩壊RCD 空間/球面定理/付録:多様体・バナッハ空間・測度。
| 作者 | 本多 正平 |
|---|---|
| 価格 | 3850円 + 税 |
| 発売元 | 朝倉書店 |
| 発売日 | 2023年05月10日 |
『曲がった空間の幾何学 現代の科学を支える非ユークリッド幾何とは (ブルーバックス)』
| 作者 | 宮岡礼子 |
|---|---|
| 価格 | 1188円 + 税 |
| 発売元 | 講談社 |
| 発売日 | 2017年07月28日 |
リーマン幾何学の概念を一般的な理論ではなく物語の形で伝えてくれる、この作品は普段数学とは縁のない方にも、非常にシンプルで見通しが良い理解の窓を提供してくれます。そして数学好きの方にとっては、現代の物理学や宇宙観につながるリーマン幾何学を新たな視点で認識し直す、刺激的な読み物になっていることでしょう。
作品を通して、算数や数学に対する苦手意識を払拭できれば素晴らしいですね。パズルや謎解きが好きな方にもぜひ一読していただきたいおすすめの一冊です。さらに、架空の世界が舞台ながらも、等質な時間や空間ではなく独特なリーマン空間が展開される物語は、読者に自由な発想や、これまでの思考の枠組みをはずすことを求めてくるでしょう。
そして、この作品は数学だけでなく物語自体も面白い。登場人物たちが描かれている人間ドラマは読者に深い感動を提供し、数学という学問への興味だけでなく、物語自体への引き込み力も十分に備えています。登場人物たちの必死の試行錯誤を通して、リーマン幾何学の深遠さを一緒に体感できるでしょう。
そう、この作品は決して数学難民の方が避けるべき作品ではなく、数学という入り口を通じて、物語の魅力を存分に味わうことができます。学問の厳しさと楽しさ、諦めずに挑戦し続けることの大切さを教えてくれる一冊、それがこの作品です。一人でも多くの方に手に取っていただき、自身の未知なる可能性に触れていただければと思います。
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