1986年の初版刊行以来、多くの読者から高い評価を得てきた『数学シリーズ 集合と位相』が、信頼の内容はそのままに、装いを新たに登場。

　集合と位相は、概念そのものが現代数学のあらゆる分野に深く浸透し活用されている。本書は、数理系の学生を対象に、集合と位相の基礎的な内容をまとめた入門書である。はじめの3章で集合を、残りの6章で位相を扱う。

　「集合」では、最初に集合と写像の概念およびその演算について述べ、続いてカントールの対角線論法やベルンシュタインの定理などを考察し、また選択公理と整列可能定理が互いに同等であることを証明する。「位相」では、ユークリッド空間への位相の導入、距離空間への位相の導入へと次第に抽象化して、一般の位相空間へと導いている。

　このたびの増補新装版では、旧版には一部しか掲載されていなかった「解答とヒント」を大幅に増補・充実させて、すべての問題に対する解答を収めた。

増補新装版 まえがき／はじめに

1．集合と写像

　§1　集合とは

　§2　集合の演算

　§3　ド・モルガンの法則

　§4　直積集合

　§5　写像

2．濃度の大小と二項関係

　§6　全射・単射

　§7　濃度の大小

　§8　二項関係

3．整列集合と選択公理

　§9　整列集合

　§10　選択公理

　§11　整列可能定理

4．距離空間

　§12　ユークリッド空間

　§13　距離空間

　§14　近傍系と連続写像

5．位相空間

　§15　位相

　§16　近傍系と連続写像

　§17　開基と基本近傍系

　§18　点列連続性

6．積空間と商空間

　§19　積空間

　§20　商空間

7．位相的性質

　§21　分離公理

　§22　コンパクト性

　§23　有限交叉性とチコノフの定理

　§24　局所コンパクト性

　§25　連結性

8．完備距離空間

　§26　距離空間の完備性

　§27　距離空間のコンパクト性

　§28　距離空間の完備化

9．写像空間

　§29　実連続関数

　§30　コンパクト開位相

付録　有理数から実数へ

おわりに

解答とヒント

索引

★ 書いてみえる！ 解いてわかる！！ ★

　「抽象的で難しい」と敬遠されがちな位相空間。でも、この本でまなぶと──。

　集合や写像は数学を深く理解するために必須の言語であり、集合に開集合系を定めてできる位相空間は極限操作や連続性を考察するために欠かせない概念である。現代数学は位相空間という舞台装置の上に成り立っているといっても過言ではない。

　理解を助けるための図が多く、自習用の詳細解答付き。さあ、ペンをもって、手を動かしてみよう。集合・位相の実践大全！

【本書の特徴】

◎ 全体のあらすじが見渡せるよう、冒頭に「全体の地図」を設けた。

◎ 写像や同値関係について丁寧に示すとともに、well-definednessについても具体例を挙げて詳しく述べた。

◎ 位相空間に重点を置き、その基礎的事項について平易にまとめた。

◎ 位相空間の良い例であるユークリッド空間やベクトル空間について、例題や節末問題でくり返し登場させた。

◎ 位相空間の位相的性質（連結性・コンパクト性・ハウスドルフ性など）やコンパクト化、距離空間の完備化などについての記述を充実させた。

◎ 数学の専門書でしばしば登場するドイツ文字について「ドイツ文字の一覧」（フラクトゥーア体と筆記体）を見返しに掲載した。

1．集合

　§1　集合の定義

　§2　集合の演算

　§3　全体集合

2．写像と二項関係

　§4　写像

　§5　全射，単射と合成写像

　§6　集合系と集合族

　§7　二項関係

　§8　商集合とwell-definedness

3．濃度と選択公理

　§9　濃度

　§10　ベルンシュタインの定理

　§11　整列集合

　§12　選択公理

4．ユークリッド空間

　§13　ユークリッド距離

　§14　ユークリッド空間の開集合

　§15　ユークリッド空間の閉集合

5．距離空間（その1）

　§16　距離空間の定義

　§17　距離空間の開集合と閉集合

　§18　距離空間の間の連続写像

　§19　距離空間の近傍

6．位相空間

　§20　位相空間の定義

　§21　位相空間の間の連続写像

　§22　基本近傍系

　§23　位相の生成

　§24　誘導位相

7．連結性とコンパクト性

　§25　弧状連結空間と連結空間

　§26　連結成分

　§27　コンパクト空間

　§28　チコノフの定理

8．距離空間（その2）

　§29　完備距離空間

　§30　コンパクト距離空間

　§31　距離空間の完備化

9．分離公理とコンパクト性の一般化

　§32　ハウスドルフ空間

　§33　正則空間と正規空間

　§34　局所コンパクト空間

　§35　パラコンパクト空間

　§36　位相空間のコンパクト化

本書は、最初に集合論と論理の基礎について述べ、実数の集合から距離空間、位相空間へと進み、それぞれの圏を貫いている位相の概念を繰り返し説明しながら、実数における概念が抽象的概念として一般化される位相空間への過程を平易に解説した入門書である。

本書は、距離空間と位相空間を、ユークリッド空間に関する知識を基礎に、できるだけ丁寧に解説した入門書である。位相的性質をコンパクト性と連結性に絞り、これらを距離空間と位相空間の両方で、重複を厭わずに、書き込んだ。

現代数学の基礎の一つである一般位相への入門書距離空間から始め、ユークリッド空間の部分集合や関数空間などの例を多く挙げて解説した。

1．距離空間

1.1 距離

1.2 部分空間と直積空間

1.3 位相

2．位相空間

2.1 位相構造

2.2 相対位相と直積位相

2.3 商位相

3．分離公理と距離化定理

3.1 分離公理

3.2 距離化定理

4．コンパクト空間

4.1 コンパクト性

4.2 局所コンパクト性とパラコンパクト性

4.3 位相空間のコンパクト化

5．連結性と単連結性

5.1 連結性

5.2 単連結性

6．完備距離空間

6.1 完備性

6.2 関数空間

付録 集合，実数，不等式

A.1 集合

A.2 実数

A.3 いくつかの不等式

章末問題解答

参考文献

索引