0章　行列入門

1章　平面ベクトルと2次正方行列

2章　 平面の1次変換の合成、行列式

3章　 2次正方行列の対角化

4章　 2次正方行列の対角化（2）

5章　 解析との関連から

6章　 多成分ベクトルと線型写像

7章　 空間の幾何

8章　 はき出し法、逆行列、階数

9章　 像と核、次元定理

10章　 正規直交基底など

11章　 n次の行列式

12章　 行列式の応用

13章　 行列の対角化

14章　 一般のベクトル空間

15章　 内積および正規行列

16章　 行列のなす群

17章　 ベクトル空間の間の演算

18章　 ジョルダン標準形

19章　 展望・量子力学入門

ゲームを開発するとき、数学の知識がとても必要でかつ役に立つことを知っていますか？

本書では、ゲーム開発をはじめ、数学を活用するさまざまな分野や現場において、知っておきたい線形代数の知識を、従来の教科書のスタイルにとらわれない形で紹介します。線形代数の基礎から入り、応用の場面で実際に使われる「回転の表現」までを分かりやすく解説します。数学を学び直したい人や、仕事で活かしたい人とってピッタリの副読本です。

各種SNSでも大きな話題を呼んだ、ゲーム会社「セガ」の社内数学勉強会のテキストが待望の書籍化！

第1講　イントロダクション

　1.1　はじめに

　1.2　数学導入：数の拡張

　1.3　付録1：数学の考え方

　1.4　付録2：ギリシャ文字一覧

第2講　初等関数

　2.1　はじめに

　2.2　指数関数

　2.3　三角関数

　2.4　指数関数の別定義

　2.5　［▼A］オイラーの公式

　2.6　付録1：二項定理（二項展開）

　2.7　付録2：総和記号

　2.8　付録3：sin θ/θ→1 (θ→0) の証明

　2.9　付録4：三角関数の各公式の証明

第3講　ベクトル

　3.1　はじめに

　3.2　ベクトルがもつ性質

　3.3　内積

　3.4　抽象化されたベクトルの概念と例

　3.5　外積

　3.6　n本のベクトルが張るn次元体積

　3.7　付録1：Levi-Civita記号

　3.8　付録2：外積の公式の証明

　3.9　付録3：置換と転倒数の偶奇性

第4講　行列1：連立一次方程式

　4.1　はじめに

　4.2　掃き出し法

　4.3　行列式の導入

　4.4　行列の導入

　4.5　付録1：行列式の重要な性質

　4.6　付録2：簡約行列の構造

　4.7　付録3：補足説明

　4.8　付録4：行列式の定義について

第5講　行列2：線形変換

　5.1　はじめに

　5.2　線形変換（一次変換）

　5.3　逆行列

　5.4　直交行列

　5.5　線形変換の行列による表示

　5.6　［▼C］付録1：Levi-Civita記号の積の性質

　5.7　付録2：複素数の行列による表現

第6講　行列3：固有値・対角化

　6.1　はじめに

　6.2　固有ベクトルと固有値

　6.3　行列の対角化

　6.4　実対称行列の対角化

　6.5　応用例

　6.6　付録1：複素ベクトル空間・行列について

　6.7　付録2：第6講の各証明

　6.8　［▼A］付録3：オイラーの公式の行列表現

第7講　回転の表現1

　7.1　はじめに

　7.2　回転行列

　7.3　オイラー角と仲間たち

　7.4　回転ベクトル

　7.5　付録1：回転変換に関する2証明

　7.6　［▼A,C］付録2：3次回転行列となる行列指数関数

第8講　回転の表現2

　8.1　はじめに

　8.2　クォータニオンの導入：ハミルトン劇場

　8.3　クォータニオン：定義と諸性質

　8.4　クォータニオン：3次元回転の表現

　8.5　［▼］付録1：一般的な4次元の回転について

　8.6　付録2：成分表示における4次元内積の不変性について

　8.7　［▼A］付録3：オイラーの公式と代数的補間式について

全24節から構成され、各節が90分の講義で扱えるようにした通年用テキスト。読者が省略された“行間”にある推論の過程をおぎない“埋める”ことができるように、式の導出を丁寧に記述した。また、手を動かして解いてほしい例題や、見落としそうな証明や計算が省略されている箇所にアイコンを設け、例題と節末問題にチェックボックスを添えた。 「ポイント」や「まとめ」を設けるとともに、抽象的な概念の理解を助けるための図を多数用意。 節末問題は確認問題・基本問題・チャレンジ問題の3段構成とし、丁寧で詳細な解答を裳華房Webサイトで公開した。

1．行列

　§0　はじめに：「線形」という言葉

　§1　行列の定義

　§2　行列の演算

　§3　行列の分割

2．連立1次方程式

　§4　基本変形

　§5　連立1次方程式

　§6　正則行列

3．行列式

　§7　置換

　§8　行列式

　§9　余因子展開

　§10　特別な形をした行列式

　§11　行列式の幾何学的意味

4．行列の指数関数

　§12　行列の指数関数

5．ベクトル空間

　§13　ベクトル空間

　§14　1次独立と1次従属

　§15　基底と次元

　§16　基底変換

6．線形写像

　§17　線形写像

　§18　表現行列

7．行列の対角化

　§19　固有値と固有ベクトル(その1)

　§20　固有値と固有ベクトル(その2)

　§21　対角化

8．対称行列の対角化

　§22　内積空間

　§23　正規直交基底

　§24　対称行列の対角化

本書の旧版（1958年刊、1974年増補改題）は、線型代数学に関する最も基礎的な理論および諸概念を明快に解説し、より本格的に線型代数学を学びたい読者にとって最適の参考書として、数十年にわたって理工系の多くの読者から親しまれ支持されつづけてきた定評の書。2006年には日本数学会出版賞を受賞した。

　その旧版をもとに、2015年刊行の新装版では、最新の組版技術によって新たに本文を組み直して読みやすくし、読者の便宜を図った。なお改版にあたっては原則、一部の文字遣いを改めるにとどめ、本文は変更していない。

2006年度日本数学会出版賞受賞のことば

増補版への序

序

I．ベクトルと行列の演算

　1.1　ベクトルの演算

　1.2　行列の演算

　1.3　行列の演算（続）

　1.4　一次写像

　1.5　実数と複素数

　1.6　内積

　研究課題　行列の指数函数について

II．行列式

　2.1　置換

　2.2　行列式の定義と基本的性質

　2.3　行列式の展開

　2.4　連立一次方程式（Cramerの解法）

　2.5　行列式の積

　2.6　二，三の応用

　研究課題　1．特殊な形の行列式

　研究課題　2．乗法公式による行列式の特徴づけ

　研究課題　3．行列式の微分

III．ベクトル空間

　3.1　ベクトルの一次独立性

　3.2　部分空間

　3.3　正規直交系と直交補空間

　3.4　一次写像（行列）の階数

　3.5　連立一次方程式（一般の場合）

　3.6　ベクトル空間の公理化

　3.7　底の変換，直交変換

　研究課題　1．羃等行列，射影子

　研究課題　2．連立線型微分方程式

IV．行列の標準化

　4.1　固有値と固有ベクトル

　4.2　固有空間への分解

　4.3　対称行列の標準化

　4.4　二次形式

　4.5　正規行列

　4.6　直交行列の群

　研究課題　1．一般の二次形式

　研究課題　2．直交群のLie環

V．テンソル代数

　5.1　双対空間

　5.2　テンソル積

　5.3　対称テンソルと交代テンソル

　5.4　テンソル代数，グラスマン代数

　5.5　係数体の拡大と制限

　研究課題　群の表現

付録　幾何学的説明

　1．空間におけるベクトル

　2．直線，平面のベクトル表示

　3．面積，体積

　4．Euclid幾何の公理

　5．二次曲面の主軸

文献表

問題の解答