虚数単位i(i^2＝-1)はなんとなく聞いたことがあるでしょうか．理系の方はご存知かもしれません．中学校では実数の範囲でしか2次方程式の解を認めないため，解を持たない2次方程式が存在しますが，高校数学ではこの虚数単位iを導入しているおかげで，実数係数の2次方程式は実数解を持つ場合か虚数解を持つ(実数解を持たない)場合のいずれかになります．しかしながら，虚数単位iの効力はこれではないのです．複素数平面では回転もできます．本書では，虚数単位を扱った複素関数を学びます．実数だけで考えていた窮屈さが，複素関数を学ぶことで自由に開放されたように広がり，自在に数や関数が操れるようになるのです．

複素関数の単位をとりたい方だけではなく，複素数の世界を味わいたい方々にお勧めの1冊です．

別冊の演習問題は，繰り返し解けるように独習用として解答を除いた問題のみのPDFをWebにて配布，また本文解説内でさらに詳細を知りたい方のために「Web補足」としてWebに補足説明を掲載しています．ぜひお役立てください．

はじめに

本書の勉強法

本書のあらすじ

第1章 複素数平面と複素関数

　1　複素数の計算

　2　複素数平面

　3　複素数の関数

第2章 指数関数・三角関数・対数関数

　1　べき級数

　2　指数関数・三角関数

　3　対数関数

第3章　複素関数の微分

　1　微分の定義

　2　正則関数

第4章　複素関数の積分

　1　複素関数の線積分

　2　線積分の具体的な計算

　3　コーシーの積分定理

　コラム　コーシーの積分定理の証明

　4　コーシーの積分公式

　5　複素関数の解析関数

　6　リーマン面

　コラム　最大値の原理

第5章　ローラン展開と留数定理

　1　ローラン展開

　2　留数定理

　3　留数定理の実関数の定積分への応用

　コラム　代数学の基本定理

索引

あとがき

注：以下のファイルをWeb補足としてご用意しています．

必要に応じてご活用ください．

Web 補足1　アポロニウスの円

Web 補足2　初等幾何による（1）、（3）の説明

Web 補足3　マクローリン展開

Web 補足4　複素数の三角関数と実関数の三角関数が異なる点

Web 補足5　f（z）=zn の正則性

Web 補足6　べき級数の各項微分

Web 補足7　ガウス積分

Web 補足8　偶関数の広義積分

Web 補足9　xa*有理関数（a は整数ではない）の定積分

本書は、複素関数論をなるべくわかりやすく解説することを目的とした「入門書」である。

執筆においては、「”入門書”としての性質を意識し、解説は可能な限り平易となるようにすること」、「応用的な定理などの紹介よりも、”基本事項”の解説に徹すること」、「例題を多く提示し、計算過程もなるべく略さず説明すること」の3点を常に念頭に置き、複素数の導入から、正則関数の諸理論を経て、留数定理による積分計算の求め方まで、終始懇切丁寧な解説を心掛けた。

複素関数は、純粋数学のみならず電気回路の設計のような実用面においても非常に豊かな広がりをもつ。本書で取り上げた「基本事項」を深く理解すれば、今後、複素関数に関するあらゆる応用例に出会ったとしても、戸惑うことなく対応できるだけの基礎力が身に着けられているはずである。

第1章　複素数

1.1 複素数と，その演算

1.2 複素数平面

1.3 指数関数の拡張；オイラーの等式

1.4 複素数平面内の領域

第2章　複素関数

2.1 複素関数とは？

2.2 簡単な複素関数の例

2.3 多項式（関数）と有理関数

2.4 指数関数と対数関数

2.5 三角関数

第3章　正則関数

3.1 正則関数の定義と性質

3.2 正則関数の性質

3.3 コーシーリーマンの関係式

3.4 正則関数の例

第4章　複素関数の線積分

4.1 複素数平面上の曲線

4.2 複素関数の線積分

4.3 線積分の性質

4.4 実積分と線積分

第5章　コーシーの積分定理と積分公式

5.1 コーシーの積分定理

5.2 コーシーの積分公式

5.3 積分定理（＝定理5.1）の証明

5.4 積分公式（＝定理5.10）の証明

第6章　ベキ級数

6.1 ベキ級数と，その収束半径

6.2 ベキ級数が定める正則関数

6.3 ベキ級数の加減乗除

6.4 ベキ級数による指数関数三角関数の定義

第7章　正則関数の性質とその応用

7.1 正則関数のテイラー展開

7.2 正則関数の零点と，その位数

7.3 一致の定理

7.4 最大値の原理

7.5 リュービルの定理

7.6 代数学の基本定理

第8章　複素関数の特異点

8.1 複素関数の特異点

8.2 特異点でのローラン展開

8.3 極の位数と留数の計算法

第9章　留数定理とその応用

9.1 留数定理

9.2 留数定理による定積分の計算（その1）

9.3 留数定理による定積分の計算（その2）

9.4 留数定理による定積分の計算（その3）

9.5 留数定理による定積分の計算（その4）

付録　補足

A.1 複素数の数列と級数

A.2 実数変数の複素数値関数の微積分

A.3 集合の上限と数列の上極限

参考文献／索引

本書は，複素数の定義から始め，正則関数の基本性質（コーシー・リーマン方程式，コーシーの定理，コーシーの積分表示，テイラー展開，一致の定理)と留数解析（留数定理，定積分計算，偏角原理，ルーシェの定理，開写像定理）を主な内容とする。

　初学者が学び易いように記載内容は根幹に絞り，枝葉への言及は最小限に留めているが，たとえば交流回路に対するオームの法則，楕円関数，リーマン面などの例・余談を盛り込むことで，複素関数論の広がりや歴史も感じることができる。

　本書では，十分に一般的仮定のもとで定理を述べ，厳密な証明を与えている。一方で，特に複素関数論を応用の立場から学ぶ読者に向けて，要点を手早く習得できる「近道」も随所に用意しており，目的に応じてカスタマイズできるよう構成している。

第1章　複素数

1.1 複素数・複素平面

1.2 複素数列

1.3 関数の極限と連続性

1.4 級数

1.5 べき級数

1.6 複素平面の位相

第2章　初等関数

2.1 指数関数

2.2 双曲・三角関数

2.3 偏角・対数の主枝

2.4 べき乗の主枝

2.5 (★)逆三角関数

2.6 (★)初等関数のリーマン面I

第3章　複素微分

3.1 準備：複素変数関数の偏微分

3.2 複素微分の定義と基本的性質

3.3 逆関数の複素微分

3.4 べき級数の複素微分

3.5 (★)一般二項展開

3.6 コーシー・リーマン方程式I

3.7 (★)コーシー・リーマン方程式II

第4章　コーシーの定理

4.1 曲線に関する用語

4.2 複素線積分

4.3 初等的コーシーの定理

4.4 初等的コーシーの定理を応用した計算例

4.5 原始関数

4.6 星形領域に対するコーシーの定理

4.7 (★)命題4.6.2の証明

4.8 星形領域に対するコーシーの定理を応用した計算例

第5章　正則関数の基本性質

5.1 コーシーの積分表示とテイラー展開

5.2 (★)定理5.1.1証明中の補題の証明

5.3 リューヴィルの定理

5.4 一致の定理

5.5 (★)モレラの定理

5.6 (★)正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数

5.7 (★)無限積

第6章　孤立特異点

6.1 孤立特異点と留数

6.2 留数定理

6.3 留数定理を応用した計算例

6.4 偏角原理・ルーシェの定理

6.5 (★)開写像定理・逆関数定理・最大値原理

6.6 (★)孤立特異点続論

6.7 (★)ローラン展開

6.8 (★)初等関数のリーマン面II

第7章 (★)一般化されたコーシーの定理

7.1 回転数

7.2 命題7.1.7の証明

7.3 一般化されたコーシーの定理

7.4 一般化された留数定理

7.5 単連結領域に対するコーシーの定理

問の略解