複素関数の参考書･本 おすすめ5選 入門にも
数学の壮大な世界に一歩足を踏み入れるなら、この複素関数の参考書5選がおすすめです。初学者でもわかりやすく、複雑な数学の概念を丁寧に解説してくれます。理論だけでなく、現実の課題にどう結びつくのか、例による具体的な解説があるのも魅力。また、深みにハマると独特の美しさも感じられるような内容になっています。難解さゆえに尻込みしてしまう数学ですが、これらの参考書と共に挑戦する価値はあるはずですね。数学の世界に、ぜひ一緒に飛び込みましょう！
『複素関数入門』
変数の範囲を実数から複素数に広げると、驚くほど美しく調和に満ちた世界が開けてゆく。そしてこの複素関数は具体的な問題の解決にも絶大な威力を発揮する。複素関数の初歩の部分は決して難しくはなく、ごく基礎的な知識を身につけるだけで非常に多くの応用が可能になる。この豊かな世界に、微積分の初歩を終えた読者を案内する。
| 作者 | 神保 道夫 |
|---|---|
| 価格 | 2750円 + 税 |
| 発売元 | 岩波書店 |
| 発売日 | 2024年10月19日 |
『1冊でマスター 大学の複素関数』
虚数単位i(i^2＝-1)はなんとなく聞いたことがあるでしょうか．理系の方はご存知かもしれません．中学校では実数の範囲でしか2次方程式の解を認めないため，解を持たない2次方程式が存在しますが，高校数学ではこの虚数単位iを導入しているおかげで，実数係数の2次方程式は実数解を持つ場合か虚数解を持つ(実数解を持たない)場合のいずれかになります．しかしながら，虚数単位iの効力はこれではないのです．複素数平面では回転もできます．本書では，虚数単位を扱った複素関数を学びます．実数だけで考えていた窮屈さが，複素関数を学ぶことで自由に開放されたように広がり，自在に数や関数が操れるようになるのです．
複素関数の単位をとりたい方だけではなく，複素数の世界を味わいたい方々にお勧めの1冊です．
別冊の演習問題は，繰り返し解けるように独習用として解答を除いた問題のみのPDFをWebにて配布，また本文解説内でさらに詳細を知りたい方のために「Web補足」としてWebに補足説明を掲載しています．ぜひお役立てください．
はじめに
本書の勉強法
本書のあらすじ
第1章 複素数平面と複素関数
1 複素数の計算
2 複素数平面
3 複素数の関数
第2章 指数関数・三角関数・対数関数
1 べき級数
2 指数関数・三角関数
3 対数関数
第3章 複素関数の微分
1 微分の定義
2 正則関数
第4章 複素関数の積分
1 複素関数の線積分
2 線積分の具体的な計算
3 コーシーの積分定理
コラム コーシーの積分定理の証明
4 コーシーの積分公式
5 複素関数の解析関数
6 リーマン面
コラム 最大値の原理
第5章 ローラン展開と留数定理
1 ローラン展開
2 留数定理
3 留数定理の実関数の定積分への応用
コラム 代数学の基本定理
索引
あとがき
注：以下のファイルをWeb補足としてご用意しています．
必要に応じてご活用ください．
Web 補足1 アポロニウスの円
Web 補足2 初等幾何による（1）、（3）の説明
Web 補足3 マクローリン展開
Web 補足4 複素数の三角関数と実関数の三角関数が異なる点
Web 補足5 f（z）=zn の正則性
Web 補足6 べき級数の各項微分
Web 補足7 ガウス積分
Web 補足8 偶関数の広義積分
Web 補足9 xa*有理関数（a は整数ではない）の定積分
| 作者 | 石井 俊全 |
|---|---|
| 価格 | 2750円 + 税 |
| 発売元 | 技術評論社 |
| 発売日 | 2022年07月09日 |
『入門複素関数 = An Introduction to Complex Analysis』
| 作者 | 川平,友規 |
|---|---|
| 価格 | 不明 |
| 発売元 | 裳華房 |
| 発売日 | 2019年02月 |
『複素関数入門 = Introduction to Complex Functions : 留数計算への道すじ』
| 作者 | 中島,匠一,1955- |
|---|---|
| 価格 | 不明 |
| 発売元 | 共立出版 |
| 発売日 | 2022年08月 |
『複素関数の基礎』
本書は，複素数の定義から始め，正則関数の基本性質（コーシー・リーマン方程式，コーシーの定理，コーシーの積分表示，テイラー展開，一致の定理)と留数解析（留数定理，定積分計算，偏角原理，ルーシェの定理，開写像定理）を主な内容とする。
初学者が学び易いように記載内容は根幹に絞り，枝葉への言及は最小限に留めているが，たとえば交流回路に対するオームの法則，楕円関数，リーマン面などの例・余談を盛り込むことで，複素関数論の広がりや歴史も感じることができる。
本書では，十分に一般的仮定のもとで定理を述べ，厳密な証明を与えている。一方で，特に複素関数論を応用の立場から学ぶ読者に向けて，要点を手早く習得できる「近道」も随所に用意しており，目的に応じてカスタマイズできるよう構成している。
第1章 複素数
1.1 複素数・複素平面
1.2 複素数列
1.3 関数の極限と連続性
1.4 級数
1.5 べき級数
1.6 複素平面の位相
第2章 初等関数
2.1 指数関数
2.2 双曲・三角関数
2.3 偏角・対数の主枝
2.4 べき乗の主枝
2.5 (★)逆三角関数
2.6 (★)初等関数のリーマン面I
第3章 複素微分
3.1 準備：複素変数関数の偏微分
3.2 複素微分の定義と基本的性質
3.3 逆関数の複素微分
3.4 べき級数の複素微分
3.5 (★)一般二項展開
3.6 コーシー・リーマン方程式I
3.7 (★)コーシー・リーマン方程式II
第4章 コーシーの定理
4.1 曲線に関する用語
4.2 複素線積分
4.3 初等的コーシーの定理
4.4 初等的コーシーの定理を応用した計算例
4.5 原始関数
4.6 星形領域に対するコーシーの定理
4.7 (★)命題4.6.2の証明
4.8 星形領域に対するコーシーの定理を応用した計算例
第5章 正則関数の基本性質
5.1 コーシーの積分表示とテイラー展開
5.2 (★)定理5.1.1証明中の補題の証明
5.3 リューヴィルの定理
5.4 一致の定理
5.5 (★)モレラの定理
5.6 (★)正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数
5.7 (★)無限積
第6章 孤立特異点
6.1 孤立特異点と留数
6.2 留数定理
6.3 留数定理を応用した計算例
6.4 偏角原理・ルーシェの定理
6.5 (★)開写像定理・逆関数定理・最大値原理
6.6 (★)孤立特異点続論
6.7 (★)ローラン展開
6.8 (★)初等関数のリーマン面II
第7章 (★)一般化されたコーシーの定理
7.1 回転数
7.2 命題7.1.7の証明
7.3 一般化されたコーシーの定理
7.4 一般化された留数定理
7.5 単連結領域に対するコーシーの定理
問の略解
| 作者 | 吉田 伸生 |
|---|---|
| 価格 | 3520円 + 税 |
| 発売元 | 共立出版 |
| 発売日 | 2022年03月08日 |
今回紹介した5選は、複素関数について学びたいという方々にとって、非常に役立つだけでなく、魅力ある内容となっております。科学や数学に広がる、無限の世界を感じられるだけでなく、それが日々の生活や社会へどう影響しているのか理解する一助ともなることでしょう。
一冊一冊、その著者ならではの視点や表現を通して、複素関数の理解を深めるとともに、数学そのものの素晴らしさを再確認できることでしょう。どんなに難解なテーマでも、わかりやすく教えてくれる素晴らしい一冊は、自分の知識を深め、理解を広げ、視野を広げてくれる存在です。チャレンジしてみる価値はありますよ。
人によって学習の進め方や理解度はさまざまです。そのため、どの本を選ぶかは、あなた自身の学び方や理解度によるところが大きいでしょう。それぞれの本が持っている特色や魅力を理解し、どの本が自分に最適か比較して選びましょう。
また、複素関数を学ぶ一方で、数学全体の楽しさや面白さを改めて感じられることも、この一冊から得られる価値の一つです。たとえどんなに困難な問題にぶつかったとしても、その解決のための道筋を示してくれる1冊は、まさに信頼できるパートナーといえるでしょう。
新しい知識の門を開くための鍵、それが今回ご紹介した5選の一冊一冊です。どの一冊もその価値を十分に発揮することができるはずです。そして何よりも、新たな世界への第一歩を踏み出すことができる、その一助となれば幸いです。
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