変数の範囲を実数から複素数に広げると、驚くほど美しく調和に満ちた世界が開けてゆく。そしてこの複素関数は具体的な問題の解決にも絶大な威力を発揮する。複素関数の初歩の部分は決して難しくはなく、ごく基礎的な知識を身につけるだけで非常に多くの応用が可能になる。この豊かな世界に、微積分の初歩を終えた読者を案内する。

虚数単位i(i^2＝-1)はなんとなく聞いたことがあるでしょうか．理系の方はご存知かもしれません．中学校では実数の範囲でしか2次方程式の解を認めないため，解を持たない2次方程式が存在しますが，高校数学ではこの虚数単位iを導入しているおかげで，実数係数の2次方程式は実数解を持つ場合か虚数解を持つ(実数解を持たない)場合のいずれかになります．しかしながら，虚数単位iの効力はこれではないのです．複素数平面では回転もできます．本書では，虚数単位を扱った複素関数を学びます．実数だけで考えていた窮屈さが，複素関数を学ぶことで自由に開放されたように広がり，自在に数や関数が操れるようになるのです．

複素関数の単位をとりたい方だけではなく，複素数の世界を味わいたい方々にお勧めの1冊です．

別冊の演習問題は，繰り返し解けるように独習用として解答を除いた問題のみのPDFをWebにて配布，また本文解説内でさらに詳細を知りたい方のために「Web補足」としてWebに補足説明を掲載しています．ぜひお役立てください．

はじめに

本書の勉強法

本書のあらすじ

第1章 複素数平面と複素関数

　1　複素数の計算

　2　複素数平面

　3　複素数の関数

第2章 指数関数・三角関数・対数関数

　1　べき級数

　2　指数関数・三角関数

　3　対数関数

第3章　複素関数の微分

　1　微分の定義

　2　正則関数

第4章　複素関数の積分

　1　複素関数の線積分

　2　線積分の具体的な計算

　3　コーシーの積分定理

　コラム　コーシーの積分定理の証明

　4　コーシーの積分公式

　5　複素関数の解析関数

　6　リーマン面

　コラム　最大値の原理

第5章　ローラン展開と留数定理

　1　ローラン展開

　2　留数定理

　3　留数定理の実関数の定積分への応用

　コラム　代数学の基本定理

索引

あとがき

注：以下のファイルをWeb補足としてご用意しています．

必要に応じてご活用ください．

Web 補足1　アポロニウスの円

Web 補足2　初等幾何による（1）、（3）の説明

Web 補足3　マクローリン展開

Web 補足4　複素数の三角関数と実関数の三角関数が異なる点

Web 補足5　f（z）=zn の正則性

Web 補足6　べき級数の各項微分

Web 補足7　ガウス積分

Web 補足8　偶関数の広義積分

Web 補足9　xa*有理関数（a は整数ではない）の定積分

本書は、複素関数論をなるべくわかりやすく解説することを目的とした「入門書」である。

執筆においては、「”入門書”としての性質を意識し、解説は可能な限り平易となるようにすること」、「応用的な定理などの紹介よりも、”基本事項”の解説に徹すること」、「例題を多く提示し、計算過程もなるべく略さず説明すること」の3点を常に念頭に置き、複素数の導入から、正則関数の諸理論を経て、留数定理による積分計算の求め方まで、終始懇切丁寧な解説を心掛けた。

複素関数は、純粋数学のみならず電気回路の設計のような実用面においても非常に豊かな広がりをもつ。本書で取り上げた「基本事項」を深く理解すれば、今後、複素関数に関するあらゆる応用例に出会ったとしても、戸惑うことなく対応できるだけの基礎力が身に着けられているはずである。

第1章　複素数

1.1 複素数と，その演算

1.2 複素数平面

1.3 指数関数の拡張；オイラーの等式

1.4 複素数平面内の領域

第2章　複素関数

2.1 複素関数とは？

2.2 簡単な複素関数の例

2.3 多項式（関数）と有理関数

2.4 指数関数と対数関数

2.5 三角関数

第3章　正則関数

3.1 正則関数の定義と性質

3.2 正則関数の性質

3.3 コーシーリーマンの関係式

3.4 正則関数の例

第4章　複素関数の線積分

4.1 複素数平面上の曲線

4.2 複素関数の線積分

4.3 線積分の性質

4.4 実積分と線積分

第5章　コーシーの積分定理と積分公式

5.1 コーシーの積分定理

5.2 コーシーの積分公式

5.3 積分定理（＝定理5.1）の証明

5.4 積分公式（＝定理5.10）の証明

第6章　ベキ級数

6.1 ベキ級数と，その収束半径

6.2 ベキ級数が定める正則関数

6.3 ベキ級数の加減乗除

6.4 ベキ級数による指数関数三角関数の定義

第7章　正則関数の性質とその応用

7.1 正則関数のテイラー展開

7.2 正則関数の零点と，その位数

7.3 一致の定理

7.4 最大値の原理

7.5 リュービルの定理

7.6 代数学の基本定理

第8章　複素関数の特異点

8.1 複素関数の特異点

8.2 特異点でのローラン展開

8.3 極の位数と留数の計算法

第9章　留数定理とその応用

9.1 留数定理

9.2 留数定理による定積分の計算（その1）

9.3 留数定理による定積分の計算（その2）

9.4 留数定理による定積分の計算（その3）

9.5 留数定理による定積分の計算（その4）

付録　補足

A.1 複素数の数列と級数

A.2 実数変数の複素数値関数の微積分

A.3 集合の上限と数列の上極限

参考文献／索引