変数の範囲を実数から複素数に広げると、驚くほど美しく調和に満ちた世界が開けてゆく。そしてこの複素関数は具体的な問題の解決にも絶大な威力を発揮する。複素関数の初歩の部分は決して難しくはなく、ごく基礎的な知識を身につけるだけで非常に多くの応用が可能になる。この豊かな世界に、微積分の初歩を終えた読者を案内する。

虚数単位i(i^2＝-1)はなんとなく聞いたことがあるでしょうか．理系の方はご存知かもしれません．中学校では実数の範囲でしか2次方程式の解を認めないため，解を持たない2次方程式が存在しますが，高校数学ではこの虚数単位iを導入しているおかげで，実数係数の2次方程式は実数解を持つ場合か虚数解を持つ(実数解を持たない)場合のいずれかになります．しかしながら，虚数単位iの効力はこれではないのです．複素数平面では回転もできます．本書では，虚数単位を扱った複素関数を学びます．実数だけで考えていた窮屈さが，複素関数を学ぶことで自由に開放されたように広がり，自在に数や関数が操れるようになるのです．

複素関数の単位をとりたい方だけではなく，複素数の世界を味わいたい方々にお勧めの1冊です．

別冊の演習問題は，繰り返し解けるように独習用として解答を除いた問題のみのPDFをWebにて配布，また本文解説内でさらに詳細を知りたい方のために「Web補足」としてWebに補足説明を掲載しています．ぜひお役立てください．

はじめに

本書の勉強法

本書のあらすじ

第1章 複素数平面と複素関数

　1　複素数の計算

　2　複素数平面

　3　複素数の関数

第2章 指数関数・三角関数・対数関数

　1　べき級数

　2　指数関数・三角関数

　3　対数関数

第3章　複素関数の微分

　1　微分の定義

　2　正則関数

第4章　複素関数の積分

　1　複素関数の線積分

　2　線積分の具体的な計算

　3　コーシーの積分定理

　コラム　コーシーの積分定理の証明

　4　コーシーの積分公式

　5　複素関数の解析関数

　6　リーマン面

　コラム　最大値の原理

第5章　ローラン展開と留数定理

　1　ローラン展開

　2　留数定理

　3　留数定理の実関数の定積分への応用

　コラム　代数学の基本定理

索引

あとがき

注：以下のファイルをWeb補足としてご用意しています．

必要に応じてご活用ください．

Web 補足1　アポロニウスの円

Web 補足2　初等幾何による（1）、（3）の説明

Web 補足3　マクローリン展開

Web 補足4　複素数の三角関数と実関数の三角関数が異なる点

Web 補足5　f（z）=zn の正則性

Web 補足6　べき級数の各項微分

Web 補足7　ガウス積分

Web 補足8　偶関数の広義積分

Web 補足9　xa*有理関数（a は整数ではない）の定積分

◆ 実数の微分積分学から、複素数の微分積分学へ ◆

　類似と相違をつねに意識し、理解と記憶をサポート。既知の概念（指数関数、微分係数、定積分…）が複素数に拡張されていく様子が、豊かな視覚的表現と確かな数学的表現で語られる。

　大学の教程で標準的な「留数定理」と「実関数の積分への応用」、発展的な「ルーシェの定理」まで、デリケートな「一様収束」や「べき級数」の一般論（これらは付録で扱う）は避けながら、理論的に自己完結するスタイルも新しい。

【特徴】

● ギャップの少ない丁寧な計算、丁寧な論証。

● 重要な式やポイントが目に飛び込む、見やすいレイアウト。

● 読者の視覚と直観に訴える、オリジナルの図を多数掲載。

● 付録では、ε - δ 論法を用いた「一様収束」および「べき級数」の一般論を展開。理論に興味のある読者も参照しやすい。

　複素関数の世界を鮮やかに展開した、待望のテキストがいまここに。

1．複素数と指数関数

　1.1　複素数と複素平面

　1.2　オイラーの公式と指数関数

　1.3　対数と複素数べき

　1.4　三角関数

　章末問題

2．複素関数の微分

　2.1　複素平面内の集合

　2.2　複素関数の極限

　2.3　複素関数の連続性

　2.4　複素関数の微分

　2.5　正則関数

　2.6　コーシー・リーマンの方程式

　2.7　微分係数とヤコビ行列（定理2.8の証明）

　章末問題

3．複素線積分

　3.1　複素関数の積分

　3.2　複素線積分の計算

　3.3　コーシーの積分定理

　3.4　コーシーの積分公式

　3.5　リューヴィルの定理と代数学の基本定理

　章末問題

4．留数定理

　4.1　テイラー展開

　4.2　ローラン展開

　4.3　留数定理

　4.4　実関数の積分への応用

　章末問題

5．正則関数の諸性質

　5.1　モレラの定理と原始関数

　5.2　一致の定理

　5.3　最大値原理

　5.4　偏角の原理とルーシェの定理

　5.5　リーマン球面とメビウス変換

　章末問題

付録A　微分積分学の重要事項

　A.1　連続関数と最大値・最小値の存在定理

　A.2　2次元写像の偏微分・ヤコビ行列

付録B　ε - δ 論法による複素関数論

　B.1　数列と級数の極限

　B.2　関数の極限，連続性，積分の存在

　B.3　関数の一様収束と微分・積分

　B.4　項別微分と項別積分

付録C　べき級数と正則関数の局所理論

　C.1　べき級数の収束性と微分積分

　C.2　テイラー展開とローラン展開

　C.3　正則関数の局所的性質

章末問題の解答

索引

本書は，複素数の定義から始め，正則関数の基本性質（コーシー・リーマン方程式，コーシーの定理，コーシーの積分表示，テイラー展開，一致の定理)と留数解析（留数定理，定積分計算，偏角原理，ルーシェの定理，開写像定理）を主な内容とする。

　初学者が学び易いように記載内容は根幹に絞り，枝葉への言及は最小限に留めているが，たとえば交流回路に対するオームの法則，楕円関数，リーマン面などの例・余談を盛り込むことで，複素関数論の広がりや歴史も感じることができる。

　本書では，十分に一般的仮定のもとで定理を述べ，厳密な証明を与えている。一方で，特に複素関数論を応用の立場から学ぶ読者に向けて，要点を手早く習得できる「近道」も随所に用意しており，目的に応じてカスタマイズできるよう構成している。

第1章　複素数

1.1 複素数・複素平面

1.2 複素数列

1.3 関数の極限と連続性

1.4 級数

1.5 べき級数

1.6 複素平面の位相

第2章　初等関数

2.1 指数関数

2.2 双曲・三角関数

2.3 偏角・対数の主枝

2.4 べき乗の主枝

2.5 (★)逆三角関数

2.6 (★)初等関数のリーマン面I

第3章　複素微分

3.1 準備：複素変数関数の偏微分

3.2 複素微分の定義と基本的性質

3.3 逆関数の複素微分

3.4 べき級数の複素微分

3.5 (★)一般二項展開

3.6 コーシー・リーマン方程式I

3.7 (★)コーシー・リーマン方程式II

第4章　コーシーの定理

4.1 曲線に関する用語

4.2 複素線積分

4.3 初等的コーシーの定理

4.4 初等的コーシーの定理を応用した計算例

4.5 原始関数

4.6 星形領域に対するコーシーの定理

4.7 (★)命題4.6.2の証明

4.8 星形領域に対するコーシーの定理を応用した計算例

第5章　正則関数の基本性質

5.1 コーシーの積分表示とテイラー展開

5.2 (★)定理5.1.1証明中の補題の証明

5.3 リューヴィルの定理

5.4 一致の定理

5.5 (★)モレラの定理

5.6 (★)正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数

5.7 (★)無限積

第6章　孤立特異点

6.1 孤立特異点と留数

6.2 留数定理

6.3 留数定理を応用した計算例

6.4 偏角原理・ルーシェの定理

6.5 (★)開写像定理・逆関数定理・最大値原理

6.6 (★)孤立特異点続論

6.7 (★)ローラン展開

6.8 (★)初等関数のリーマン面II

第7章 (★)一般化されたコーシーの定理

7.1 回転数

7.2 命題7.1.7の証明

7.3 一般化されたコーシーの定理

7.4 一般化された留数定理

7.5 単連結領域に対するコーシーの定理

問の略解