ルベーグ積分の基礎にスピーディーに到達する教科書および演習書。なるべく少ないページ数でルベーグ積分の定義，収束定理を学び，ルベーグ積分が使えるようになる。ルベーグ測度の構成，フビニの定理，可測性，カントール関数などの進んだ内容とLp空間への応用などのトピックも解説。多くの独立した演習問題によってルベーグ積分の理解を深め，広がりをもたせる。独習者のために解答例を記載。演習問題は大学院入試の備えにも役立つ。可算・非可算，上極限・下極限などの微積分の基本を補足し，微積分がだいたい理解できていれば，この一冊でルベーグ積分をスムーズに学習できる。

第1章　Lebesgue積分の定義と収束定理

1.1　Lebesgue積分とは

1.2　σ-加法族と可測集合

1.3　可測関数

1.4　可測関数列

1.5　測度

1.6　積分の定義

1.7　ほとんどいたるところ

1.8　積分の具体例

1.9　収束定理

1.10　収束定理の応用

1.11　まとめ

第2章　Lebesgue測度の構成とFubiniの定理

2.1　外測度

2.2　Caratheodory可測集合

2.3　測度の完備化

2.4　Hopfの拡張定理

2.5　1次元Lebesgue測度の構成

2.6　直積測度の構成

2.7　Fubiniの定理

2.8　一般次元Lebesgue測度

2.9　Fubiniの定理の応用

2.10　広義積分（積分の極限値）

2.11　まとめ

第3章　可測性とLebesgue 測度の詳しい性質

3.1　2変数関数としての可測性

3.2　Lebesgue可測集合とLebesgue可積分関数の近似

3.3　Lebesgue非可測集合

3.4　Cantor集合と非可測集合・非可測関数

3.5　まとめ

第4章　Lebesgue積分の運用

4.1　Lp空間

4.2　Euclid空間上のLp空間

4.3　Weierstrassの多項式近似定理

4.4　Lebesgue積分と複素解析

4.5　まとめ

第5章　準備

5.1　有理数と実数・濃度

5.2　上限・下限

5.3　上極限・下極限

5.4　級数

5.5　まとめ

第6章　演習問題

問題の解答

演習問題の解答

参考文献

索　　引

ルベーグ積分で必要とされる定理は「単調収束定理」，「ファトゥの補題」，「ルベーグの収束定理」の3つである。これらの定理を使いこなせると，微分積分の科目で習得した一様収束の概念を経由することなく積分と極限の記号の交換ができるようになる。このことは解析学において基本になる。ルベーグ積分の教科書は非常に多いが，本書では最短の方法でこれらの定理に到達することができるように構成を工夫した。さらに，本書ではルベーグ積分がなぜ重要かを説明するために，関数の微分可能性に関して説明した。ほかの応用として，確率論，フーリエ解析とルベーグ積分が，それぞれどのように結びついているのかについて説明した。確率論やフーリエ解析の講義で素通りされやすい箇所に限定して説明している。これらは証明に時間がかかりすぎてしまうという難点があるが，測度論に関して詳述している本書の強みを生かしてこれらの箇所を丁寧に説明した。また，多くの演習問題を設け，それらに関する詳しい解答も与えた。

第1章　n次元ルベーグ測度

1.1 外測度とルベーグ測度

1.2 可測集合と可測関数

1.3 ルベーグ積分の定義とリーマン積分との関係

1.4 重要な積分定理

1.5 フビニの定理

1.6 章末問題

第2章　抽象的な測度空間

2.1 σ-集合体と測度

2.2 積分不等式

2.3 ラドン・ニコディムの定理

2.4 章末問題

第3章　関数の微分可能性

3.1 被覆補題と極大作用素

3.2 ルベーグの微分定理

3.3 関数の微分可能性

3.4 章末問題

第4章　測度論の確率論への応用

4.1 測度論の立場から見た確率論

4.2 コルモゴロフの拡張定理

4.3 章末問題

第5章　ルベーグ積分のフーリエ解析への応用

5.1 2乗可積分関数のフーリエ級数

5.2 2乗可積分関数のフーリエ変換

5.3 章末問題

付録　数式の読みかた

問題の解答／索引