本書は、ルベーグ積分の理論の基礎を詳解したものである。全体像を把握する助けとなるように、導入する概念や定義の意味合い、理論の根幹について、初学者にも配慮した丁寧な解説を行った。また、さまざまな例や演習問題によって理解を深める構成となっている。

　ルベーグ積分論は緻密に構築されており、全容を掴むのは容易でない。また、規定の理論展開を少し外れた際に主張が成立するかどうかを知るのがしばしば難しい。本書では、概念の導入や証明方法について吟味し、自然な流れで読み進めていけるように工夫を凝らした。さらに、理論の習得をサポートする補足説明や反例の紹介を充実させ、初読の際に理解を妨げそうな数学的記述などについても詳しい説明を付けることで学修の便を図った。あわせて、入門書の枠に留まらないようなやや発展的な注釈も各所に記載することで、深い理解に向けての一助とするだけでなく、ルベーグ積分論を既習の方にも新たな知見が得られるように意図している。

　ルベーグ積分論を初めて学ぶ人にとっても、他書で一通り学んだが改めて理論体系を俯瞰したい人にとっても適した一冊。

第1章　序論

1.1 導入

1.2 ルベーグ積分とは

第2章　基礎事項の確認

2.1 集合に関わる事項

2.2 写像について

2.3 可算集合・非可算集合・濃度

2.4 距離と位相

2.5 ±∞について

2.6 スクリプト文字一覧

第3章　測度空間

3.1 可測空間と測度

3.2 いくつかの例

3.3 測度の性質

第4章　可測関数

4.1 可測性の定義と性質

4.2 単関数による近似

第5章　ルベーグ積分の定義と基本的性質

5.1 ルベーグ積分の定義

5.2 ルベーグ積分の基本的な性質

5.3 簡単な例

5.4 リーマン積分との関連（連続関数の場合）

第6章　収束定理

6.1 準備

6.2 収束定理

6.3 微分演算と積分演算の順序交換

6.4 適用例

第7章　測度の構成

7.1 構成の方針

7.2 有限加法的測度の構成

7.3 外測度から測度へ

7.4 ルベーグ測度の構成

7.5 測度空間の完備化

7.6 まとめ

第8章　ルベーグ測度

8.1 ルベーグ測度の性質

8.2 Rdのいろいろな部分集合

8.3 リーマン積分との関連（一般の場合）

第9章　直積測度とフビニの定理

9.1 直積測度空間

9.2 フビニの定理

9.3 ディンキン族定理

第10章　発展的な話題

10.1 符号付き測度

10.2 測度の正則性

10.3 いろいろな測度

10.4 正値線型汎関数の積分表現

補遺

A.1 第2.3節の命題の証明

A.2 集合族から生成されるσ-加法族について

A.3 行列の特異値分解

A.4 定理8.3.11の証明

問題の略解・ヒント

言葉を尽して徹底的に丁寧に書き起こしたルベーグ積分の入門書。

初学者が遭遇しがちな「学びの壁」を乗り越えるための秘訣を伝授する。

　本書では、面積とは何？　という素朴な問から出発して、平面のジョルダン測度およびルベーグ測度、一般の測度空間における積分論およびその応用を解説する。測度論の概要を理解し、ルベーグの収束定理、フビニの定理が使えるようになることを到達目標としている。

　多変数を含めた微分積分学、および集合・位相の基礎的部分をおおよそ理解していれば、だれでも測度論・積分論の理解に手が届く構成となっている。読者の志す専門が何であれ、備えておくと将来役立てられる知見と思考技術が効率よく自習できることを目指して執筆されている。

本書を理解するための秘訣

第1章　面積とは何か

1.1 はじめに

1.2 準備：実数の性質と集合演算

1.3 長方形の面積

第2章　平面におけるジョルダン測度と1次元リーマン積分

2.1 平面の基本集合

2.2 ジョルダン測度

2.3 1次元リーマン積分

2.4 高次元化

第3章　ジョルダン非可測集合と測度零・ルベーグ外測度

3.1 有理数の集合

3.2 ジョルダン非可測集合

3.3 測度零の集合とルベーグ外測度

3.4 零集合の基本事項

第4章　ルベーグ外測度の基本性質

4.1 集合関数としてのルベーグ外測度

4.2 基本長方形のルベーグ外測度

第5章　ルベーグ内測度・ルベーグ測度

5.1 ルベーグ内測度

5.2 ルベーグ可測性・ルベーグ測度

5.3 ルベーグ測度と平面の位相

第6章　完全加法性

6.1 ルベーグ外測度とルベーグ内測度の特徴付け

6.2 ルベーグ測度の完全加法性

第7章　ルベーグ可測性の側面

7.1 ルベーグ可測性の位相的特徴付け

7.2 有界でない場合のルベーグ可測性

7.3 ルベーグ可測性の言い換え

7.4 n次元実数空間におけるルベーグ測度

第8章　カラテオドリの外測度論

8.1 カラテオドリの外測度

8.2 可測集合

8.3 ボレル集合体

8.4 可測集合族

8.5 可測集合の測度

第9章　測度空間

9.1 抽象的測度と測度空間

9.2 集合の極限と測度

9.3 集合列の上極限・下極限

第10章　可測関数

10.1 可測関数の定義

10.2 可測関数の基本性質

第11章　可測関数の積分

11.1 単関数とその積分

11.2 可測関数の積分

11.3 可測関数の単関数による近似

第12章　可積分関数

12.1 単調収束定理

12.2 可積分関数と積分の基本性質

第13章　積分と極限

13.1 ファトゥーの不等式

13.2 ルベーグの収束定理

13.3 概収束

第14章　可積分関数のなす空間

14.1 空間L1(X)

14.2 L1(X)の完備性

14.3 空間Lp(X)

第15章　実数空間におけるルベーグ測度とフビニの定理

15.1 実数空間におけるルベーグ積分

15.2 フビニの定理

問の解