本書は、ルベーグ積分の理論の基礎を詳解したものである。全体像を把握する助けとなるように、導入する概念や定義の意味合い、理論の根幹について、初学者にも配慮した丁寧な解説を行った。また、さまざまな例や演習問題によって理解を深める構成となっている。　ルベーグ積分論は緻密に構築されており、全容を掴むのは容易でない。また、規定の理論展開を少し外れた際に主張が成立するかどうかを知るのがしばしば難しい。本書では、概念の導入や証明方法について吟味し、自然な流れで読み進めていけるように工夫を凝らした。さらに、理論の習得をサポートする補足説明や反例の紹介を充実させ、初読の際に理解を妨げそうな数学的記述などについても詳しい説明を付けることで学修の便を図った。あわせて、入門書の枠に留まらないようなやや発展的な注釈も各所に記載することで、深い理解に向けての一助とするだけでなく、ルベーグ積分論を既習の方にも新たな知見が得られるように意図している。　ルベーグ積分論を初めて学ぶ人にとっても、他書で一通り学んだが改めて理論体系を俯瞰したい人にとっても適した一冊。

言葉を尽して徹底的に丁寧に書き起こしたルベーグ積分の入門書。

初学者が遭遇しがちな「学びの壁」を乗り越えるための秘訣を伝授する。

　本書では、面積とは何？　という素朴な問から出発して、平面のジョルダン測度およびルベーグ測度、一般の測度空間における積分論およびその応用を解説する。測度論の概要を理解し、ルベーグの収束定理、フビニの定理が使えるようになることを到達目標としている。

　多変数を含めた微分積分学、および集合・位相の基礎的部分をおおよそ理解していれば、だれでも測度論・積分論の理解に手が届く構成となっている。読者の志す専門が何であれ、備えておくと将来役立てられる知見と思考技術が効率よく自習できることを目指して執筆されている。

本書を理解するための秘訣

第1章　面積とは何か

1.1 はじめに

1.2 準備：実数の性質と集合演算

1.3 長方形の面積

第2章　平面におけるジョルダン測度と1次元リーマン積分

2.1 平面の基本集合

2.2 ジョルダン測度

2.3 1次元リーマン積分

2.4 高次元化

第3章　ジョルダン非可測集合と測度零・ルベーグ外測度

3.1 有理数の集合

3.2 ジョルダン非可測集合

3.3 測度零の集合とルベーグ外測度

3.4 零集合の基本事項

第4章　ルベーグ外測度の基本性質

4.1 集合関数としてのルベーグ外測度

4.2 基本長方形のルベーグ外測度

第5章　ルベーグ内測度・ルベーグ測度

5.1 ルベーグ内測度

5.2 ルベーグ可測性・ルベーグ測度

5.3 ルベーグ測度と平面の位相

第6章　完全加法性

6.1 ルベーグ外測度とルベーグ内測度の特徴付け

6.2 ルベーグ測度の完全加法性

第7章　ルベーグ可測性の側面

7.1 ルベーグ可測性の位相的特徴付け

7.2 有界でない場合のルベーグ可測性

7.3 ルベーグ可測性の言い換え

7.4 n次元実数空間におけるルベーグ測度

第8章　カラテオドリの外測度論

8.1 カラテオドリの外測度

8.2 可測集合

8.3 ボレル集合体

8.4 可測集合族

8.5 可測集合の測度

第9章　測度空間

9.1 抽象的測度と測度空間

9.2 集合の極限と測度

9.3 集合列の上極限・下極限

第10章　可測関数

10.1 可測関数の定義

10.2 可測関数の基本性質

第11章　可測関数の積分

11.1 単関数とその積分

11.2 可測関数の積分

11.3 可測関数の単関数による近似

第12章　可積分関数

12.1 単調収束定理

12.2 可積分関数と積分の基本性質

第13章　積分と極限

13.1 ファトゥーの不等式

13.2 ルベーグの収束定理

13.3 概収束

第14章　可積分関数のなす空間

14.1 空間L1(X)

14.2 L1(X)の完備性

14.3 空間Lp(X)

第15章　実数空間におけるルベーグ測度とフビニの定理

15.1 実数空間におけるルベーグ積分

15.2 フビニの定理

問の解

ルベーグ積分で必要とされる定理は「単調収束定理」，「ファトゥの補題」，「ルベーグの収束定理」の3つである。これらの定理を使いこなせると，微分積分の科目で習得した一様収束の概念を経由することなく積分と極限の記号の交換ができるようになる。このことは解析学において基本になる。ルベーグ積分の教科書は非常に多いが，本書では最短の方法でこれらの定理に到達することができるように構成を工夫した。さらに，本書ではルベーグ積分がなぜ重要かを説明するために，関数の微分可能性に関して説明した。ほかの応用として，確率論，フーリエ解析とルベーグ積分が，それぞれどのように結びついているのかについて説明した。確率論やフーリエ解析の講義で素通りされやすい箇所に限定して説明している。これらは証明に時間がかかりすぎてしまうという難点があるが，測度論に関して詳述している本書の強みを生かしてこれらの箇所を丁寧に説明した。また，多くの演習問題を設け，それらに関する詳しい解答も与えた。

第1章　n次元ルベーグ測度

1.1 外測度とルベーグ測度

1.2 可測集合と可測関数

1.3 ルベーグ積分の定義とリーマン積分との関係

1.4 重要な積分定理

1.5 フビニの定理

1.6 章末問題

第2章　抽象的な測度空間

2.1 σ-集合体と測度

2.2 積分不等式

2.3 ラドン・ニコディムの定理

2.4 章末問題

第3章　関数の微分可能性

3.1 被覆補題と極大作用素

3.2 ルベーグの微分定理

3.3 関数の微分可能性

3.4 章末問題

第4章　測度論の確率論への応用

4.1 測度論の立場から見た確率論

4.2 コルモゴロフの拡張定理

4.3 章末問題

第5章　ルベーグ積分のフーリエ解析への応用

5.1 2乗可積分関数のフーリエ級数

5.2 2乗可積分関数のフーリエ変換

5.3 章末問題

付録　数式の読みかた

問題の解答／索引