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2024年05月10日 更新

ルベーグ積分を学ぶ本 おすすめ8選

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ルベーグ積分を学ぶ本 おすすめ8選の表紙

数学の素晴らしさに触れる一方で、ちょっぴり頭を悩ませる「ルベーグ積分」。それをわかりやすく理解するための一助となる本を厳選しました。基本的な内容から専門的な議論まで、幅広くカバーしているので、読むことで必ず知識が増えますよ。これから数学の勉強を始める人はもちろん、既に勉強中の方も納得の選書になっています。とにかく易しく、しかしっかりと学びたい。そんな方にピッタリの一冊がきっと見つかるはず。視野を広げ、深みを増すためにも、ぜひ何冊か手に取ってみてくださいね。

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『ルベーグ積分の基礎』

ルベーグ積分の基礎の表紙

 本書は、ルベーグ積分の理論の基礎を詳解したものである。全体像を把握する助けとなるように、導入する概念や定義の意味合い、理論の根幹について、初学者にも配慮した丁寧な解説を行った。また、さまざまな例や演習問題によって理解を深める構成となっている。 ルベーグ積分論は緻密に構築されており、全容を掴むのは容易でない。また、規定の理論展開を少し外れた際に主張が成立するかどうかを知るのがしばしば難しい。本書では、概念の導入や証明方法について吟味し、自然な流れで読み進めていけるように工夫を凝らした。さらに、理論の習得をサポートする補足説明や反例の紹介を充実させ、初読の際に理解を妨げそうな数学的記述などについても詳しい説明を付けることで学修の便を図った。あわせて、入門書の枠に留まらないようなやや発展的な注釈も各所に記載することで、深い理解に向けての一助とするだけでなく、ルベーグ積分論を既習の方にも新たな知見が得られるように意図している。 ルベーグ積分論を初めて学ぶ人にとっても、他書で一通り学んだが改めて理論体系を俯瞰したい人にとっても適した一冊。

作者 日野正訓/著
価格 不明
発売元 共立出版
発売日 2023年10月04日
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『秘伝 ルベーグ積分』

秘伝 ルベーグ積分の表紙

言葉を尽して徹底的に丁寧に書き起こしたルベーグ積分の入門書。

初学者が遭遇しがちな「学びの壁」を乗り越えるための秘訣を伝授する。

 本書では、面積とは何? という素朴な問から出発して、平面のジョルダン測度およびルベーグ測度、一般の測度空間における積分論およびその応用を解説する。測度論の概要を理解し、ルベーグの収束定理、フビニの定理が使えるようになることを到達目標としている。

 多変数を含めた微分積分学、および集合・位相の基礎的部分をおおよそ理解していれば、だれでも測度論・積分論の理解に手が届く構成となっている。読者の志す専門が何であれ、備えておくと将来役立てられる知見と思考技術が効率よく自習できることを目指して執筆されている。

本書を理解するための秘訣

第1章 面積とは何か

1.1 はじめに

1.2 準備:実数の性質と集合演算

1.3 長方形の面積

第2章 平面におけるジョルダン測度と1次元リーマン積分

2.1 平面の基本集合

2.2 ジョルダン測度

2.3 1次元リーマン積分

2.4 高次元化

第3章 ジョルダン非可測集合と測度零・ルベーグ外測度

3.1 有理数の集合

3.2 ジョルダン非可測集合

3.3 測度零の集合とルベーグ外測度

3.4 零集合の基本事項

第4章 ルベーグ外測度の基本性質

4.1 集合関数としてのルベーグ外測度

4.2 基本長方形のルベーグ外測度

第5章 ルベーグ内測度・ルベーグ測度

5.1 ルベーグ内測度

5.2 ルベーグ可測性・ルベーグ測度

5.3 ルベーグ測度と平面の位相

第6章 完全加法性

6.1 ルベーグ外測度とルベーグ内測度の特徴付け

6.2 ルベーグ測度の完全加法性

第7章 ルベーグ可測性の側面

7.1 ルベーグ可測性の位相的特徴付け

7.2 有界でない場合のルベーグ可測性

7.3 ルベーグ可測性の言い換え

7.4 n次元実数空間におけるルベーグ測度

第8章 カラテオドリの外測度論

8.1 カラテオドリの外測度

8.2 可測集合

8.3 ボレル集合体

8.4 可測集合族

8.5 可測集合の測度

第9章 測度空間

9.1 抽象的測度と測度空間

9.2 集合の極限と測度

9.3 集合列の上極限・下極限

第10章 可測関数

10.1 可測関数の定義

10.2 可測関数の基本性質

第11章 可測関数の積分

11.1 単関数とその積分

11.2 可測関数の積分

11.3 可測関数の単関数による近似

第12章 可積分関数

12.1 単調収束定理

12.2 可積分関数と積分の基本性質

第13章 積分と極限

13.1 ファトゥーの不等式

13.2 ルベーグの収束定理

13.3 概収束

第14章 可積分関数のなす空間

14.1 空間L1(X)

14.2 L1(X)の完備性

14.3 空間Lp(X)

第15章 実数空間におけるルベーグ測度とフビニの定理

15.1 実数空間におけるルベーグ積分

15.2 フビニの定理

問の解

作者 青木 貴史
価格 3190円 + 税
発売元 共立出版
発売日 2024年02月05日
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『ルベーグ積分入門 : 使うための理論と演習』

ルベーグ積分入門 : 使うための理論と演習の表紙
作者 吉田,伸生
価格 不明
発売元 日本評論社
発売日 2021年03月
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『ルベーグ積分要点と演習 = Lebesgue integral-Essential approach and exercise-』

ルベーグ積分要点と演習 = Lebesgue integral-Essential approach and exercise-の表紙
作者 相川,弘明 小林,政晴
価格 不明
発売元 共立出版
発売日 2018年09月
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『ルベーグ積分超入門 関数解析や数理ファイナンス理解のために』

ルベーグ積分超入門 関数解析や数理ファイナンス理解のためにの表紙
作者 森 真
価格 3168円 + 税
発売元 共立出版
発売日 2022年04月07日
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『ルベーグ積分リアル入門 理論構造を追跡する』

ルベーグ積分リアル入門 理論構造を追跡するの表紙
作者 髙橋 秀慈
価格 3168円 + 税
発売元 裳華房
発売日 2023年11月02日
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『早わかりルベーグ積分』

早わかりルベーグ積分の表紙

ルベーグ積分で必要とされる定理は「単調収束定理」,「ファトゥの補題」,「ルベーグの収束定理」の3つである。これらの定理を使いこなせると,微分積分の科目で習得した一様収束の概念を経由することなく積分と極限の記号の交換ができるようになる。このことは解析学において基本になる。ルベーグ積分の教科書は非常に多いが,本書では最短の方法でこれらの定理に到達することができるように構成を工夫した。さらに,本書ではルベーグ積分がなぜ重要かを説明するために,関数の微分可能性に関して説明した。ほかの応用として,確率論,フーリエ解析とルベーグ積分が,それぞれどのように結びついているのかについて説明した。確率論やフーリエ解析の講義で素通りされやすい箇所に限定して説明している。これらは証明に時間がかかりすぎてしまうという難点があるが,測度論に関して詳述している本書の強みを生かしてこれらの箇所を丁寧に説明した。また,多くの演習問題を設け,それらに関する詳しい解答も与えた。

第1章 n次元ルベーグ測度

1.1 外測度とルベーグ測度

1.2 可測集合と可測関数

1.3 ルベーグ積分の定義とリーマン積分との関係

1.4 重要な積分定理

1.5 フビニの定理

1.6 章末問題

第2章 抽象的な測度空間

2.1 σ-集合体と測度

2.2 積分不等式

2.3 ラドン・ニコディムの定理

2.4 章末問題

第3章 関数の微分可能性

3.1 被覆補題と極大作用素

3.2 ルベーグの微分定理

3.3 関数の微分可能性

3.4 章末問題

第4章 測度論の確率論への応用

4.1 測度論の立場から見た確率論

4.2 コルモゴロフの拡張定理

4.3 章末問題

第5章 ルベーグ積分のフーリエ解析への応用

5.1 2乗可積分関数のフーリエ級数

5.2 2乗可積分関数のフーリエ変換

5.3 章末問題

付録 数式の読みかた

問題の解答/索引

作者 澤野嘉宏
価格 2090円 + 税
発売元 共立出版
発売日 2015年09月19日
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

『数学のとびら ルベーグ積分と測度』

数学のとびら ルベーグ積分と測度の表紙
作者 山上 滋
価格 2970円 + 税
発売元 裳華房
発売日 2022年09月28日
info 最新の商品情報は購入前に通販サイトでご確認ください

これまでにご紹介した8冊の本は、全てルベーグ積分について学ぶためのものでした。ブランクがある方にも、数学に不慣れな方にも、そして既に数学を専攻している方にも、それぞれ異なる視点からルベーグ積分を解説しています。

知識を深めるだけでなく、積分について初めて学ぶ際に適した本もあります。また、一方で理論側からアプローチした本や、実際に問題を解いてみることができる本も用意しています。各本ともに、読者の皆さんがルベーグ積分の世界に興味を持つきっかけになれば幸いです。

全ての本がルベーグ積分に魅せられた著者たちの情熱を感じられる内容に仕上がっています。どの本も本当に素晴らしく、数学の美しさを再認識するきっかけになることでしょう。その中から、あなたの学び方や興味に合った一冊を見つけてみてください。

また、これらの本はあくまでも入門書。これをきっかけに、さらなる数学の奥深さ、美しさを追求し続けることが大切です。

これからも新たな本が登場することでしょう。新たな視点、理論が提示され、それを学ぶことでまだまだ新しい発見があるかもしれません。数学へのあなたの旅は、これからが本番。どの本もあなたの旅の一部となり、支えとなることでしょう。

あなたがどの本を選ぶにせよ、そこから得る学びが楽しいものであること、そしてあなたが数学の世界を愛する一員となることを心から願っています。このことを忘れずに、数学との冒険を楽しんでくださいね!

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