高校数学程度の素養をもった読者にトポロジーの初歩からその基本事項をていねいに紹介した最適の入門書。初学者が数学を学ぶ際にしばしば感じる困難に配慮して、論理的理解と直観的理解が並行して進むよう、親切な工夫が凝らしてある。将来の学習に役立つ基礎の深い理解が得られるだろう。章末に練習問題、巻末に解答を付す。

　まえがき

第1章　空間と連続写像

　§1　いろいろな図形

　§2　連続曲線

　§3　ユークリッド空間と距離空間

　§4　連続写像と同相写像

第2章　位　相

　§5　閉集合，開集合，位相空間

　§6　コンパクト空間

第3章　連結性

　§7　連結性

　§8　弧状連結性

第4章　基本群

　§9　道の変形

　§10　群

　§11　基本群

　§12　写像のホモトピー

第5章　ファンカンペンの定理

　§13　自由積と融合積

　§14　ファンカンペンの定理

第6章　いくつかの応用

　§15　群の表示

　§16　空間の工作と閉曲面の基本群

　§17　被覆空間

　§18　結び目

　付録A

　付録B

　演習問題解答

　あとがき

　索　引

本書は、トポロジー（位相幾何学）の入門書です。位相空間の復習を含め、基本群とホモロジー群の初歩を解説します。内容を初等的な事柄に絞ることで、初学者が、学ぶべきトポロジーのエッセンスを短期間に修得できることを目指しました。イメージが湧くような図も多く掲載され、理解を助けますが、証明や定義もきちんと述べられた、「しっかり」学べる教科書です。

抽象的、厳密的すぎて興味を損なわないように、そして、トポロジー以外の他の分野に進む学生にも興味が持続するように、適宜具体例を配置し、興味深い題材を厳選して提供しています。

第1章　位相空間論

1.1 位相空間と連続写像

1.2 部分空間と同相

1.3 積空間と和空間

1.4 商空間

1.5 コンパクト性とハウスドルフ性

1.6 連結性と弧状連結性

1.7 閉曲面

第2章　基本群

2.1 道とホモトピー

2.2 基本群

2.3 基本群と連続写像

2.4 円周の基本群

2.5 ホモトピー同値と基本群

2.6 円周の基本群の応用

2.7 球面の基本群

2.8 閉曲面の基本群

2.9 ザイフェルトーファン・カンペンの定理を用いた基本群の計算

2.10 ザイフェルトーファン・カンペンの定理の証明

第3章　ホモロジー群

3.1 単体

3.2 単体分割とオイラー標数

3.3 単体の向きと境界準同型

3.4 ホモロジー群の定義

3.5 ホモロジー群の計算(1)：グラフのホモロジー

3.6 連結性とホモロジー

3.7 ホモロジー群の計算(2)：曲面のホモロジー

3.8 ホモロジー群の計算(3)：多様体のホモロジー

3.9 単体写像と誘導準同型

3.10 完全系列と鎖写像

3.11 マイヤーーヴィートリス完全系列

3.12 重心細分

3.13 単体近似

3.14 鎖ホモトピー

3.15 ホモロジー群のホモトピー不変性

ガロア群により代数方程式は新たな展開を見た。群、関数論、トポロジーの相互作用が織み出す数学の面白さ。伝説の名著復活。解説　飯高茂

天才ガロアの見た夢を、あなたも一緒に見てみませんか。

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ガロア理論の観点から被覆空間やフックス型微分方程式を考察し、群論と微分方程式をテーマにした入門書。代数系（群）、トポロジー、解析学（関数論）の交錯するような地点にこそ、数学的面白さはプリミティヴに生起すると著者は説く。本書の出自が東大教養学部ゼミナールの講義録のゆえか、概念や証明を図式と言葉のみで展開してゆく手並みは驚くほど鮮やかで、ユニークとしか表現しようがない。かの志村五郎氏をして、「常に高みを見据えていたひと」と言わしめた著者の伝説的名著を復刊。　解説　飯高 茂

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ガロア理論を視覚化

伝説の名著、復刊

序文　そして山の裂目にのまれてしまったとさ

数学以前のことなど

エイヤーッとひっぱってみる

奥さんがとり替わってもわからない紳士たち

人はしっぽをもっている

ガロア理論を目で見よう

解けるか　解けぬか

さよならはHATTARIのあとで

文献表

おわびと訂正

代数的トポロジーの主要な手法のひとつ ── 基本群と被覆空間を、じっくり丁寧に解き明かす。基本群の定義やその計算方法を、豊富なオリジナルの図とともに解説し、その威力を十分に体感できるようにした。本書の“華”は、被覆空間のガロア理論を通じて、基本群の理論と被覆空間の理論が表裏一体であることに到達し、大団円を迎えることである。

　幾何学（位相空間）と代数学（群）という一見異なる分野が結びつき、美しく調和する基本群と被覆空間の世界。本書で、単なる計算や公式を超えた深い洞察を見出し、数学の奥深さを味わってみませんか。

【本書の特徴】

● 本文中で読者が行間を埋める必要があるところにアイコンをつけ、その具体的なやり方を別冊「行間を埋めるために」でウェブ公開した（後日公開予定）。self-contained でスムーズに読み進めることができる。

● 全体のあらすじが見渡せるよう、冒頭に「全体の地図」を設けた。

● 基本群の例や例題を豊富に用意し、具体的な基本群の計算を通じて、抽象的な概念を吸収できるようにした。

● かゆいところに手が届くオリジナルの図版を多数掲載した。

● 関連する話題や数学者の話を「よりみち」や「コラム」で紹介した。

● 節末問題の解答について、丁寧で詳細な解答を巻末に載せた。自習学習に役立ててほしい。

● 数学の専門書でしばしば登場するドイツ文字について「ドイツ文字の一覧」（フラクトゥーア体と筆記体）を見返しに掲載した。

【学びのひろがり】

● 圏と関手の定義にも簡単に触れ、基本群の共変関手性をやさしく解説した。

● 複素関数論とのつながりを「よりみち」の中で紹介した。

● 基本群の誕生と発展のストーリーを、「コラム」の中で描いた。

● 発展的な項目として、写像トーラスやCW複体の基本群を取り上げた。

● ホモトピー論・ホモロジー論への架け橋となる概念として、K(G, 1)空間にも言及した。

● 被覆空間の具体例として、無限巡回被覆空間や極大アーベル被覆空間など、理論的にも応用的にも重要な典型例を丁寧に解説した。

1．集合・位相・群：速習コース

2．基本群

3．被覆空間

4．部分空間の基本群

5．基本群の計算（その1）

6．基本群の計算（その2）

7．被覆空間のガロア理論