ホモロジー群の基本性質からポアンカレの双対定理とその応用までを網羅したテキスト。トポロジー初学者および隣接分野を含めた非専門家を読者対象とし、徹底的にていねいに解説。本文で学んだ内容の理解を深めるため、各節ごとに演習問題を用意し、くわしい解答もつける。

ホモロジー群の基本性質からポアンカレの双対定理とその応用までを網羅したテキスト。トポロジー初学者および隣接分野を含めた非専門家を読者対象とし、徹底的にていねいに解説。本文で学んだ内容の理解を深めるため、各節ごとに演習問題を用意し、くわしい解答もつける。

第5章　ホモトピー群とファイバー空間

　5.1　ホモトピー群の定義と基本的性質

　5.2　ファイバー空間

　5.3　被覆空間

第6章　ホモロジー群の係数をとりかえる

　6.1　アーベル群に係数をもつホモロジー群

　6.2　ホモロジーの普遍係数定理

　6.3　アーベル群に係数をもつ特異ホモロジー群の基本的性質

第7章　ベクトル束

　7.1　ベクトル束の定義

　7.2　ベクトル束の準同型定理

　7.3　ベクトル束の演算

　7.4　ベクトル束の引き戻し

第8章　特異コホモロジー群

　8.1　特異コホモロジー群の定義とコホモロジーの普遍係数定理

　8.2　特異コホモロジー群の基本的性質

　8.3　Euler類

第9章　積

　9.1　カップ積とキャップ積

　9.2　直積空間の（コ）ホモロジー

第10章　Poincaré双対定理とその応用

　10.1　PoincaréーLefschetz双対定理

　10.2　多様体上の交叉形式

　10.3　Thom同型定理とその応用

おわりに

本書は、トポロジー（位相幾何学）の入門書です。位相空間の復習を含め、基本群とホモロジー群の初歩を解説します。内容を初等的な事柄に絞ることで、初学者が、学ぶべきトポロジーのエッセンスを短期間に修得できることを目指しました。イメージが湧くような図も多く掲載され、理解を助けますが、証明や定義もきちんと述べられた、「しっかり」学べる教科書です。

抽象的、厳密的すぎて興味を損なわないように、そして、トポロジー以外の他の分野に進む学生にも興味が持続するように、適宜具体例を配置し、興味深い題材を厳選して提供しています。

第1章　位相空間論

1.1 位相空間と連続写像

1.2 部分空間と同相

1.3 積空間と和空間

1.4 商空間

1.5 コンパクト性とハウスドルフ性

1.6 連結性と弧状連結性

1.7 閉曲面

第2章　基本群

2.1 道とホモトピー

2.2 基本群

2.3 基本群と連続写像

2.4 円周の基本群

2.5 ホモトピー同値と基本群

2.6 円周の基本群の応用

2.7 球面の基本群

2.8 閉曲面の基本群

2.9 ザイフェルトーファン・カンペンの定理を用いた基本群の計算

2.10 ザイフェルトーファン・カンペンの定理の証明

第3章　ホモロジー群

3.1 単体

3.2 単体分割とオイラー標数

3.3 単体の向きと境界準同型

3.4 ホモロジー群の定義

3.5 ホモロジー群の計算(1)：グラフのホモロジー

3.6 連結性とホモロジー

3.7 ホモロジー群の計算(2)：曲面のホモロジー

3.8 ホモロジー群の計算(3)：多様体のホモロジー

3.9 単体写像と誘導準同型

3.10 完全系列と鎖写像

3.11 マイヤーーヴィートリス完全系列

3.12 重心細分

3.13 単体近似

3.14 鎖ホモトピー

3.15 ホモロジー群のホモトピー不変性

位相的図形、複体と多面体、複体および図形のホモロジー、多様体などトポロジーの基礎的部分を明快に解説する。豊富な例題、章末の問題など、初学者のための周到な教育的配慮をもって書かれたすぐれた入門書。

図形を分類し，その多様性を知るための手法であり，現代の幾何学を学ぶうえでかかせないホモロジー理論．本書はその基礎からていねいに解説する教科書である．図版も豊富に掲載し，読者の理解を助ける．また，詳細な解答の付いた例題・問題も多数．

はじめに

記号表

第1章　弧状連結性とホモトピー

　1.1　空間の分類

　1.2　写像のホモトピー

　1.3　ホモトピー群

　1.4　基本群

　1.5　第1章の問題の解答

第2章　ホモロジー理論の概要

　2.1　ホモロジー理論の公理

　2.2　球面の次元とホモロジー群

　2.3　写像度

　2.4　第2章の問題の解答

第3章　胞体複体

　3.1　空間の貼り合わせ

　3.2　有限胞体複体

　3.3　チェイン複体

　3.4　有限胞体複体のホモロジー群

　3.5　有限胞体複体のチェイン複体とホモロジー群

　3.6　胞体写像

　3.7　多様体の胞体分割（展開）

　3.8　第3章の問題の解答

第4章　チェイン複体とホモロジー群の計算

　4.1　チェイン写像

　4.2　胞体複体の対

　4.3　マイヤー・ビエトリス完全系列

　4.4　キネットの公式と普遍係数定理

　4.5　コホモロジー群

　4.6　第4章の問題の解答

第5章　単体複体とそのホモロジー群

　5.1　単体複体

　5.2　胞体複体としての単体複体

　5.3　単体複体に付随するチェイン複体

　5.4　単体複体に対するホモロジー理論

　5.5　単体近似

　5.6　単体複体の直積

　5.7　第5章の問題の解答

第6章　特異単体複体

　6.1　特異単体複体

　6.2　ジョルダン・ブラウアーの定理と領域不変性（展開）

　6.3　第6章の問題の解答

第7章　空間の位相の研究へ

　7.1　ファンカンペンの定理の証明

　7.2　有限胞体複体の基本群

　7.3　ファイバー空間のホモトピー完全系列

　7.4　被覆空間

　7.5　有限胞体複体の対のホモトピー群（展開）

　7.6　フレビッツの定理（展開）

　7.7　有限胞体複体のホモトピー型（展開）

　7.8　ファイバー束の自明性（展開）

　7.9　ファイバー束の切断（展開）

　7.10　ベクトル束と球面束（展開）

　7.11　等質空間（展開）

　7.12　分類空間（展開）

　7.13　第7章の問題の解答

参考文献／記号索引／用語索引／人名表